The book is devoted to the issues of modern multidimensional calculus of variations. The central place in it is occupied by the presentation of qualitatively new methods for explicitly finding multidimensional extremals of functionals and studying their topological properties. For the first time, a solution to the classical multidimensional Plateau problem is presented in a form accessible to a wide range of specialists. The book is intended for researchers and students who are interested in the study of mathematical models of various fields of science and technology, as well as for those who are interested in the development of new methods and techniques for solving problems of optimization and variational analysis. The book is divided into several chapters, each of which deals with a specific aspect of the theory of variations and its applications. The first chapter provides an overview of the main concepts and results of the theory of variations, including the definition of a functional and its extrema, the Euler-Lagrange equation, and the Legendre transform. The second chapter discusses the basic tools and techniques for solving optimization problems, such as gradient descent and the use of Lagrange multipliers. The third chapter presents a detailed exposition of the classical multidimensional Plateau problem and its solution, including the use of topological invariants to study the behavior of the solution. The fourth chapter explores the application of the theory of variations to other areas of mathematics and science, such as differential geometry and quantum field theory. The final chapter discusses the relationship between the theory of variations and other areas of mathematics and science, such as machine learning and computer vision. Throughout the book, the author uses clear and concise language, avoiding complex mathematical jargon and providing numerous examples and exercises to help readers understand the material.

Книга посвящена вопросам современного многомерного вариационного исчисления. Центральное место в ней занимает представление качественно новых методов явного нахождения многомерных экстремалов функционалов и изучения их топологических свойств. Впервые решение классической многомерной задачи Плато представлено в форме, доступной широкому кругу специалистов. Книга предназначена для исследователей и студентов, интересующихся изучением математических моделей различных областей науки и техники, а также для тех, кто заинтересован в разработке новых методов и методик решения задач оптимизации и вариационного анализа. Книга разделена на несколько глав, каждая из которых посвящена конкретному аспекту теории вариаций и её приложениям. В первой главе представлен обзор основных понятий и результатов теории вариаций, включая определение функционала и его экстремумов, уравнение Эйлера - Лагранжа и преобразование Лежандра. Во второй главе обсуждаются основные инструменты и методы решения задач оптимизации, такие как градиентный спуск и использование множителей Лагранжа. В третьей главе представлено подробное изложение классической многомерной задачи Плато и её решения, включая использование топологических инвариантов для изучения поведения решения. Четвёртая глава исследует применение теории вариаций к другим областям математики и науки, таким как дифференциальная геометрия и квантовая теория поля. В заключительной главе обсуждается связь между теорией вариаций и другими областями математики и науки, такими как машинное обучение и компьютерное зрение. На протяжении всей книги автор использует ясный и лаконичный язык, избегая сложного математического жаргона и предоставляя многочисленные примеры и упражнения, помогающие читателям понять материал.

livre traite des questions de calcul de variation multidimensionnelle moderne. Elle est centrée sur la présentation de méthodes qualitativement nouvelles pour trouver explicitement les extrêmes multidimensionnels des fonctions et étudier leurs propriétés topologiques. Pour la première fois, la solution à la tâche multidimensionnelle classique du Plateau est présentée sous une forme accessible à un large éventail de professionnels. livre est destiné aux chercheurs et aux étudiants intéressés par l'étude des modèles mathématiques de différents domaines de la science et de la technologie, ainsi qu'à ceux intéressés par le développement de nouvelles méthodes et techniques pour résoudre les problèmes d'optimisation et d'analyse de variation. livre est divisé en plusieurs chapitres, chacun traitant d'un aspect particulier de la théorie des variations et de ses applications. premier chapitre donne un aperçu des concepts de base et des résultats de la théorie de la variation, y compris la définition de la fonction et de ses extrêmes, l'équation Euler-Lagrange et la transformation de gendre. deuxième chapitre traite des principaux outils et méthodes de résolution des problèmes d'optimisation, tels que la descente en gradient et l'utilisation des multiplicateurs de Lagrange. troisième chapitre présente une description détaillée de la tâche multidimensionnelle classique du Plateau et de ses solutions, y compris l'utilisation d'invariants topologiques pour étudier le comportement de la solution. quatrième chapitre étudie l'application de la théorie des variations à d'autres domaines des mathématiques et des sciences, tels que la géométrie différentielle et la théorie quantique des champs. dernier chapitre traite de la relation entre la théorie des variations et d'autres domaines des mathématiques et des sciences, tels que l'apprentissage automatique et la vision par ordinateur. Tout au long du livre, l'auteur utilise un langage clair et concis, évitant le jargon mathématique complexe et fournissant de nombreux exemples et exercices pour aider les lecteurs à comprendre le matériel.

libro trata de las cuestiones del cálculo multidimensional moderno de las variaciones. Se centra en la presentación de métodos cualitativamente nuevos para encontrar explícitamente los extremos multidimensionales de las funcionalidades y estudiar sus propiedades topológicas. Por primera vez, la solución al clásico problema multidimensional de Plateau se presenta en una forma accesible a una amplia gama de especialistas. libro está dirigido a investigadores y estudiantes interesados en estudiar modelos matemáticos de diferentes campos de la ciencia y la tecnología, así como a aquellos interesados en desarrollar nuevas técnicas y técnicas para resolver problemas de optimización y análisis variacional. libro se divide en varios capítulos, cada uno dedicado a un aspecto específico de la teoría de las variaciones y sus aplicaciones. primer capítulo ofrece una visión general de los conceptos y resultados básicos de la teoría de las variaciones, incluyendo la definición de la funcionalidad y sus extremos, la ecuación de Euler - Lagrange y la transformación de gendre. En el segundo capítulo se discuten las principales herramientas y métodos para resolver problemas de optimización, como el descenso de gradiente y el uso de multiplicadores de Lagrange. tercer capítulo presenta una descripción detallada del problema multivariable clásico de Plateau y sus soluciones, incluyendo el uso de invariantes topológicos para estudiar el comportamiento de la solución. cuarto capítulo explora la aplicación de la teoría de variaciones a otros campos de la matemática y la ciencia, como la geometría diferencial y la teoría cuántica de campos. capítulo final discute la relación entre la teoría de las variaciones y otros campos de las matemáticas y la ciencia, como el aprendizaje automático y la visión por computadora. A lo largo del libro, el autor utiliza un lenguaje claro y conciso, evitando la compleja jerga matemática y aportando numerosos ejemplos y ejercicios que ayudan a los lectores a entender el material.

O livro trata de questões sobre o atual cálculo de variação multidimensional. O centro dele é a representação de técnicas qualitativamente novas para encontrar claramente os extremos multidimensionais das funcionalidades e estudar suas propriedades topológicas. Pela primeira vez, a solução do clássico desafio multidimensional do Platô é apresentada em uma forma acessível a uma ampla gama de especialistas. O livro é destinado a pesquisadores e estudantes interessados em estudar modelos matemáticos de diferentes áreas de ciência e tecnologia, bem como para aqueles interessados em desenvolver novas técnicas e técnicas para lidar com os desafios de otimização e análise variável. O livro é dividido em vários capítulos, cada um sobre um aspecto específico da teoria das variações e suas aplicações. O primeiro capítulo mostra os conceitos básicos e os resultados da teoria das variações, incluindo a definição da funcionalidade e dos seus extremos, a equação Eiler-Lagrange e a conversão de hander. O segundo capítulo discute as principais ferramentas e técnicas de otimização, como a descida de gradiente e o uso de multiplicadores de Lagrange. O terceiro capítulo apresenta um resumo detalhado da clássica tarefa multidimensional de Platle e sua solução, incluindo o uso de invariantes topológicos para estudar o comportamento da solução. O quarto capítulo explora a aplicação da teoria das variações em outras áreas da matemática e da ciência, como a geometria diferencial e a teoria quântica do campo. O capítulo final discute a relação entre a teoria das variações e outras áreas da matemática e da ciência, como o aprendizado de máquinas e a visão computacional. Ao longo do livro, o autor usa uma linguagem clara e lúdica, evitando o jargão matemático complexo e fornecendo inúmeros exemplos e exercícios que ajudam os leitores a compreender o material.

Il libro è incentrato su un moderno calcolo di variazione multidimensionale. Il punto centrale è la rappresentazione di metodi qualitativamente nuovi per individuare chiaramente gli estremi multidimensionali delle funzioni e studiarne le proprietà topologiche. Per la prima volta, la classica sfida multi-dimensioni di Platè è rappresentata in una forma accessibile a una vasta gamma di professionisti. Il libro è rivolto a ricercatori e studenti interessati allo studio di modelli matematici di diversi campi della scienza e della tecnologia e a coloro che sono interessati a sviluppare nuove tecniche e metodologie per affrontare le sfide di ottimizzazione e analisi variazionale. Il libro è suddiviso in diversi capitoli, ognuno dei quali riguarda un aspetto specifico della teoria delle variazioni e le sue applicazioni. Il primo capitolo fornisce una panoramica dei concetti di base e dei risultati della teoria delle variazioni, inclusa la definizione della funzione e dei suoi estremi, l'equazione Euler-Lagrange e la trasformazione di gandra. Nel secondo capitolo si discutono i principali strumenti e metodi per affrontare le sfide di ottimizzazione, come la discesa sfumata e l'utilizzo di moltiplicatori Lagrange. Il terzo capitolo fornisce una descrizione dettagliata del classico compito multidimensionale di Platè e le sue soluzioni, compreso l'uso di invarianti topologici per studiare il comportamento della soluzione. Il quarto capitolo indaga l'applicazione della teoria delle variazioni ad altre aree della matematica e della scienza, come la geometria differenziale e la teoria quantistica del campo. Il capitolo finale parla del legame tra la teoria delle variazioni e altri settori della matematica e della scienza, come l'apprendimento automatico e la visione informatica. Durante tutto il libro, l'autore utilizza un linguaggio chiaro e laconico, evitando il complesso gergo matematico e fornendo numerosi esempi ed esercizi che aiutano i lettori a comprendere il brano.

Das Buch widmet sich Fragen der modernen multidimensionalen Variationsrechnung. Im Mittelpunkt steht die Präsentation qualitativ neuer Methoden, um multidimensionale Extreme von Funktionalen explizit zu finden und ihre topologischen Eigenschaften zu untersuchen. Erstmals wird die Lösung des klassischen multidimensionalen Problems Plateau in einer Form präsentiert, die einem breiten Fachpublikum zur Verfügung steht. Das Buch richtet sich an Forscher und Studenten, die sich für das Studium mathematischer Modelle verschiedener Wissenschafts- und Technologiebereiche interessieren, sowie an diejenigen, die an der Entwicklung neuer Methoden und Techniken zur Lösung von Optimierungs- und Variationsanalyseproblemen interessiert sind. Das Buch ist in mehrere Kapitel unterteilt, die jeweils einem bestimmten Aspekt der Variationstheorie und ihren Anwendungen gewidmet sind. Das erste Kapitel gibt einen Überblick über die grundlegenden Konzepte und Ergebnisse der Variationstheorie, einschließlich der Definition des Funktionals und seiner Extreme, der Euler-Lagrange-Gleichung und der gendre-Transformation. Im zweiten Kapitel werden die grundlegenden Werkzeuge und Methoden zur Lösung von Optimierungsproblemen wie der Gradientenabstieg und die Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren diskutiert. Das dritte Kapitel bietet eine detaillierte Darstellung des klassischen multidimensionalen Plateau-Problems und seiner Lösung, einschließlich der Verwendung topologischer Invarianten zur Untersuchung des Lösungsverhaltens. Das vierte Kapitel untersucht die Anwendung der Variationstheorie auf andere Bereiche der Mathematik und Wissenschaft, wie die Differentialgeometrie und die Quantenfeldtheorie. Das letzte Kapitel diskutiert den Zusammenhang zwischen der Variationstheorie und anderen Bereichen der Mathematik und Wissenschaft wie maschinelles rnen und Computer Vision. Während des gesamten Buches verwendet der Autor eine klare und prägnante Sprache, vermeidet komplexen mathematischen Jargon und liefert zahlreiche Beispiele und Übungen, die den sern helfen, das Material zu verstehen.

Książka poświęcona jest zagadnieniom współczesnego wielowymiarowego obliczenia zmienności. Centralne miejsce zajmuje prezentacja jakościowo nowych metod jednoznacznego odnajdywania wielowymiarowych skrajności funkcjonałów i badania ich właściwości topologicznych. Po raz pierwszy rozwiązanie klasycznego wielowymiarowego problemu Plateau przedstawiono w formie dostępnej dla szerokiej gamy specjalistów. Książka przeznaczona jest dla naukowców i studentów zainteresowanych badaniem modeli matematycznych różnych dziedzin nauki i technologii, a także dla tych, którzy są zainteresowani opracowywaniem nowych metod i technik rozwiązywania problemów optymalizacji i analizy zmiennej. Książka podzielona jest na kilka rozdziałów, z których każdy poświęcony jest konkretnemu aspektowi teorii zmienności i jej zastosowań. Pierwszy rozdział zawiera przegląd podstawowych pojęć i wyników teorii zmienności, w tym definicji funkcji i jej ekstremy, równania Eulera-Lagrange'a i transformaty gendre'a. W drugim rozdziale omówiono podstawowe narzędzia i metody rozwiązywania problemów optymalizacji, takich jak zejście gradientu i stosowanie czynników Lagrange. Trzeci rozdział zawiera szczegółowy opis klasycznego wielowymiarowego problemu Plateau i jego rozwiązań, w tym wykorzystanie topologicznych niezmienników do badania zachowań rozwiązań. Rozdział czwarty bada zastosowanie teorii zmienności do innych dziedzin matematyki i nauki, takich jak geometria różnicowa i kwantowa teoria pola. W ostatnim rozdziale omówiono związek między teorią zmienności a innymi dziedzinami matematyki i nauki, takimi jak uczenie maszynowe i wizja komputerowa. W całej książce autor posługuje się jasnym i zwięzłym językiem, unikając złożonego żargonu matematycznego i dostarczając licznych przykładów i ćwiczeń, aby pomóc czytelnikom zrozumieć materiał.

הספר מוקדש לסוגיות של חדו "א רב-ממדי מודרני של וריאציות. המקום המרכזי בו הוא הצגת שיטות חדשות מבחינה איכותית למציאת קיצוניות רב-ממדית של פונקציונלים וחקר התכונות הטופולוגיות שלהם. לראשונה, הפתרון לבעיית המישור הרב-ממדי הקלאסי מוצג בצורה הזמינה למגוון רחב של מומחים. הספר מיועד לחוקרים וסטודנטים המעוניינים ללמוד מודלים מתמטיים של תחומים שונים של מדע וטכנולוגיה, כמו גם למי שמעוניינים לפתח שיטות וטכניקות חדשות לפתרון בעיות אופטימיזציה וניתוח שונות. הספר מחולק למספר פרקים, שכל אחד מהם מוקדש להיבט מסוים של תורת השונות ויישומיה. הפרק הראשון מספק סקירה של המושגים הבסיסיים והתוצאות של תורת השונות, כולל ההגדרה של פונקציונלית, של משוואת אוילר-לגראנז 'ושל שינוי הלגנדרה. הפרק השני דן בכלים ושיטות בסיסיים לפתרון בעיות אופטימיזציה, כגון ירידה בגרדיאנט ושימוש בגורמי לגראנז '. הפרק השלישי מספק תיאור מפורט של בעיית המישור הקלאסי והפתרונות שלו, כולל שימוש באינווריאנטים טופולוגיים לחקר התנהגות הפתרון. הפרק הרביעי בוחן את היישום של תורת השונות לתחומים אחרים במתמטיקה ובמדע, כמו גאומטריה דיפרנציאלית ותורת השדות הקוונטית. הפרק האחרון דן בקשר שבין תורת השונות לתחומים אחרים של מתמטיקה ומדעים, כגון למידת מכונה וראיית מחשב. לאורך כל הספר משתמש המחבר בשפה ברורה ותמציתית, נמנע מז "רגון מתמטי מורכב ומספק דוגמאות ותרגולים רבים כדי לעזור לקוראים להבין את החומר.''

Kitap, modern çok boyutlu varyasyon hesabı konularına ayrılmıştır. İçindeki merkezi yer, işlevsellerin çok boyutlu aşırılıklarını açıkça bulmak ve topolojik özelliklerini incelemek için niteliksel olarak yeni yöntemlerin sunulması ile işgal edilir. İlk kez, klasik çok boyutlu Plato probleminin çözümü, çok çeşitli uzmanlara açık bir biçimde sunulmaktadır. Kitap, çeşitli bilim ve teknoloji alanlarının matematiksel modellerini incelemek isteyen araştırmacıların ve öğrencilerin yanı sıra optimizasyon ve varyasyonel analiz problemlerini çözmek için yeni yöntemler ve teknikler geliştirmek isteyenler için tasarlanmıştır. Kitap, her biri varyasyon teorisinin ve uygulamalarının belirli bir yönüne ayrılmış birkaç bölüme ayrılmıştır. İlk bölüm, bir fonksiyonun tanımı ve extrema, Euler-Lagrange denklemi ve gendre dönüşümü dahil olmak üzere varyasyon teorisinin temel kavramlarına ve sonuçlarına genel bir bakış sunar. İkinci bölümde, gradyan inişi ve Lagrange faktörlerinin kullanımı gibi optimizasyon problemlerini çözmek için temel araçlar ve yöntemler tartışılmaktadır. Üçüncü bölüm, klasik çok boyutlu Plato probleminin ve çözüm davranışını incelemek için topolojik değişmezlerin kullanımı da dahil olmak üzere çözümlerinin ayrıntılı bir tanımını sunar. Dördüncü bölüm, varyasyon teorisinin diferansiyel geometri ve kuantum alan teorisi gibi matematik ve bilimin diğer alanlarına uygulanmasını araştırmaktadır. Son bölüm, varyasyon teorisi ile makine öğrenimi ve bilgisayar görüşü gibi matematik ve bilimin diğer alanları arasındaki ilişkiyi tartışmaktadır. Kitap boyunca, yazar açık ve özlü bir dil kullanır, karmaşık matematiksel jargondan kaçınır ve okuyucuların materyali anlamalarına yardımcı olacak çok sayıda örnek ve alıştırma sunar.

الكتاب مخصص لقضايا الحسابات الحديثة متعددة الأبعاد للاختلافات. يشغل المكان المركزي فيه تقديم طرق جديدة نوعيًا للعثور صراحة على الأطراف متعددة الأبعاد للوظائف ودراسة خصائصها الطوبولوجية. لأول مرة، يتم تقديم حل لمشكلة الهضبة الكلاسيكية متعددة الأبعاد في شكل متاح لمجموعة واسعة من المتخصصين. الكتاب مخصص للباحثين والطلاب المهتمين بدراسة النماذج الرياضية لمختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا، وكذلك لأولئك المهتمين بتطوير طرق وتقنيات جديدة لحل مشاكل التحليل الأمثل والتحليل المتنوع. ينقسم الكتاب إلى عدة فصول، كل منها مخصص لجانب محدد من نظرية الاختلاف وتطبيقاتها. يقدم الفصل الأول لمحة عامة عن المفاهيم والنتائج الأساسية لنظرية الاختلاف، بما في ذلك تعريف الوظيفة وتطرفها، ومعادلة أويلر لاغرانج، وتحويل ليجيندر. يناقش الفصل الثاني الأدوات والطرق الأساسية لحل مشاكل التحسين، مثل هبوط التدرج واستخدام عوامل لاغرانج. يقدم الفصل الثالث وصفًا مفصلاً لمسألة الهضبة الكلاسيكية متعددة الأبعاد وحلولها، بما في ذلك استخدام الثوابت الطوبولوجية لدراسة سلوك المحلول. يستكشف الفصل الرابع تطبيق نظرية الاختلاف على مجالات أخرى من الرياضيات والعلوم، مثل الهندسة التفاضلية ونظرية المجال الكمي. يناقش الفصل الأخير العلاقة بين نظرية الاختلاف والمجالات الأخرى للرياضيات والعلوم، مثل التعلم الآلي ورؤية الكمبيوتر. في جميع أنحاء الكتاب، يستخدم المؤلف لغة واضحة وموجزة، ويتجنب المصطلحات الرياضية المعقدة ويقدم العديد من الأمثلة والتمارين لمساعدة القراء على فهم المواد.

이 책은 현대 다차원 미적분학 문제에 전념하고 있습니다. 그 중심 위치는 다차원 극한의 기능을 명시 적으로 찾고 위상 특성을 연구하는 질적으로 새로운 방법을 제시함으로써 차지됩니다. 처음으로, 고전적인 다차원 고원 문제에 대한 해결책은 광범위한 전문가가 이용할 수있는 형태로 제시됩니다. 이 책은 다양한 과학 기술 분야의 수학적 모델을 연구하는 데 관심이있는 연구자와 학생뿐만 아니라 최적화 및 변형 분석 문제를 해결하기위한 새로운 방법과 기술을 개발하는 데 관심이있는 사람들을위한 것입니다. 이 책은 여러 장으로 나뉘며 각 장은 변형 이론과 그 응용의 특정 측면에 전념합니다. 첫 번째 장은 기능과 극한의 정의, 오일러-라그랑주 방정식 및 레전드 변환을 포함하여 변형 이론의 기본 개념과 결과에 대한 개요를 제공합니다. 두 번째 장에서는 그라디언트 하강 및 라그랑주 요인 사용과 같은 최적화 문제를 해결하기위한 기본 도구 및 방법에 대해 설명합니다. 세 번째 장은 솔루션 동작을 연구하기 위해 토폴로지 불변량을 사용하는 것을 포함하여 고전적인 다차원 고원 문제와 그 해결책에 대한 자세한 설명을 제공합니다. 네 번째 장은 미분 기하학 및 양자 장 이론과 같은 다른 수학 및 과학 영역에 변형 이론을 적용하는 방법을 탐구합니다. 마지막 장에서는 변형 이론과 기계 학습 및 컴퓨터 비전과 같은 수학 및 과학의 다른 영역 간의 관계에 대해 설명합니다. 이 책 전체에서 저자는 명확하고 간결한 언어를 사용하여 복잡한 수학 전문 용어를 피하고 독자가 자료를 이해하는 데 도움이되는 수많은 예와 연습을 제공합니다.

この本は、現代の多次元微積分法の問題に捧げられています。その中心的な場所には、機能の多次元極限を明示的に見つけ、その位相特性を研究するための定性的に新しい方法の提示があります。古典的な多次元高原問題の解決策は、幅広い専門家が利用できる形で初めて提示されます。この本は、科学技術の様々な分野の数学モデルの研究に興味を持っている研究者や学生を対象としています。この本はいくつかの章に分かれており、それぞれがバリエーション理論とその応用の特定の側面に捧げられている。最初の章では、関数とその極限の定義、オイラー=ラグランジュ方程式、レジェンドル変換など、変動理論の基本的な概念と結果の概要を説明します。第2章では、グラデーション降下やラグレンジ因子の使用など、最適化問題を解決するための基本的なツールと方法について説明します。第3章では、古典的な多次元高原の問題とその解決策について詳しく説明します。第4章では、微分幾何学や量子場の理論など、数学や科学の他の分野への変動理論の応用について考察する。最終章では、ばらつき理論と、機械学習やコンピュータビジョンなどの数学と科学の他の分野との関係について説明します。著者は本を通して明確で簡潔な言語を使用し、複雑な数学用語を避け、読者が資料を理解するのを助けるために多くの例と演習を提供しています。

本書涉及現代多維變量演算的問題。其核心是提出明確發現功能的多維極端並研究其拓撲特性的定性新方法。高原經典多維問題的解決方案首次以廣泛專家可用的形式呈現。該書面向對研究科學技術各個領域的數學模型感興趣的研究人員和學生，以及對開發解決優化問題和變分分析的新方法和方法感興趣的研究人員和學生。該書分為幾個章節，每個章節都涉及變異理論及其應用的特定方面。第一章概述了變異理論的基本概念和結果，包括函數及其極限的定義，歐拉-拉格朗日方程和勒讓德變換。第二章討論了解決優化問題的基本工具和方法，例如梯度下降和拉格朗日乘數的使用。第三章詳細介紹了經典的多維高原問題及其解決方案，包括使用拓撲不變量來研究解決方案的行為。第四章探討了變異理論在其他數學和科學領域（例如微分幾何學和量子場論）的應用。最後一章討論了變異理論與機器學習和計算機視覺等數學和科學其他領域之間的關系。在整個書中，作者使用清晰簡潔的語言，避免復雜的數學術語，並提供許多示例和練習來幫助讀者理解材料。