Forward and Inverse Problems for Hyperbolic, Elliptic, and Mixed Type Equations As technology continues to evolve at an unprecedented pace, it becomes increasingly important to study and understand the process of technological development. This is particularly true when it comes to the field of mathematics and its applications in fields such as geophysics, optics, tomography, remote sensing, and radar location. One area that has seen significant growth and innovation in recent years is the study of inverse and forward problems for partial differential equations. In this monograph, we focus on the inverse problems of determining the parameters of a medium by giving the form of incident and reflected waves or the vibrations of certain points within the medium. We explore how these problems can be reduced to known inverse problems for the Sturm-Liouville equation or the string equation. Additionally, we examine the method of spectral analysis, which involves reducing the considered inverse problems to their simplest forms.

Прямые и обратные задачи для уравнений гиперболического, эллиптического и смешанного типа Поскольку технология продолжает развиваться беспрецедентными темпами, становится все более важным изучать и понимать процесс технологического развития. Это особенно верно, когда речь идет о области математики и ее приложениях в таких областях, как геофизика, оптика, томография, дистанционное зондирование и радиолокация. Одной из областей, в которой наблюдается значительный рост и инновации в последние годы, является изучение обратных и прямых задач для уравнений в частных производных. В этой монографии мы фокусируемся на обратных задачах определения параметров среды путём придания формы падающим и отражённым волнам или колебаниям определённых точек внутри среды. Мы исследуем, как эти задачи могут быть сведены к известным обратным задачам для уравнения Штурма - Лиувилля или уравнения струны. Дополнительно исследуется метод спектрального анализа, который предполагает сведение рассматриваемых обратных задач к простейшим их формам.

Tâches directes et inverses pour les équations de type hyperbolique, elliptique et mixte À mesure que la technologie continue d'évoluer à un rythme sans précédent, il devient de plus en plus important d'étudier et de comprendre le processus de développement technologique. Cela est particulièrement vrai dans le domaine des mathématiques et de ses applications dans des domaines tels que la géophysique, l'optique, la tomographie, la télédétection et le radar. L'un des domaines dans lesquels la croissance et l'innovation ont été importantes ces dernières années est l'étude des problèmes inversés et directs pour les équations dans les dérivées partielles. Dans cette monographie, nous nous concentrons sur les tâches inversées de détermination des paramètres de l'environnement en donnant forme aux ondes tombantes et réfléchies ou aux fluctuations de certains points dans l'environnement. Nous étudions comment ces tâches peuvent être réduites à des tâches inversées connues pour l'équation Sturm-Liouville ou l'équation corde. On étudie en outre la méthode d'analyse spectrale qui consiste à réduire les tâches inversées en question aux formes les plus simples.

Problemas directos e inversos para ecuaciones de tipo hiperbólico, elíptico y mixto A medida que la tecnología continúa evolucionando a un ritmo sin precedentes, es cada vez más importante estudiar y entender el proceso de desarrollo tecnológico. Esto es especialmente cierto cuando se trata del campo de las matemáticas y sus aplicaciones en campos como la geofísica, la óptica, la tomografía, la teleobservación y el radar. Uno de los ámbitos en los que se ha producido un importante crecimiento e innovación en los últimos es el estudio de los problemas inversos y directos para las ecuaciones en derivadas parciales. En esta monografía nos centramos en los problemas inversos de definir los parámetros del medio dando forma a las ondas caídas y reflejadas o a las oscilaciones de ciertos puntos dentro del medio. Estamos investigando cómo estos problemas pueden reducirse a problemas de retroceso conocidos para la ecuación Sturm - Liouville o la ecuación de cuerda. Se está investigando más a fondo un método de análisis espectral que implica la reducción de las tareas inversas en cuestión a sus formas más simples.

Tarefas diretas e inversas para equações de tipo hiperbólico, elíptico e misto Como a tecnologia continua a evoluir a um ritmo sem precedentes, é cada vez mais importante estudar e compreender o processo de desenvolvimento tecnológico. Isto é especialmente verdade quando se trata da área de matemática e seus aplicativos em áreas como geofísica, ótica, tomografia, teleatendimento e radar. Uma das áreas em que houve um grande crescimento e inovação nos últimos anos é o estudo dos desafios inversos e diretos para equações em derivados privados. Nesta monografia, focamos em tarefas inversas para determinar os parâmetros do ambiente, dando forma a ondas caídas e refletidas ou a oscilações de certos pontos dentro do ambiente. Estamos a investigar como estas tarefas podem ser reduzidas a tarefas conhecidas para a equação entre o Assalto e o Liuville ou a equação da corda. Um método de análise espectral está a ser explorado, o que sugere que as tarefas voltadas para as suas formas mais simples.

Sfide dirette e inverse per le equazioni di tipo iperbolico, ellittico e misto Poiché la tecnologia continua a sviluppare a un ritmo senza precedenti, diventa sempre più importante studiare e comprendere il processo di sviluppo tecnologico. Ciò è particolarmente vero quando si tratta del campo della matematica e delle sue applicazioni in settori quali geofisica, ottica, tomografia, teleassistenza e radar. Uno degli ambiti in cui si è registrata una significativa crescita e innovazione negli ultimi anni è quello di esplorare le sfide inverse e dirette per le equazioni nei derivati privati. In questa monografia ci focalizziamo sulle sfide inverse di determinare i parametri dell'ambiente, dando forma a onde cadenti e riflesse o fluttuando determinati punti all'interno dell'ambiente. Stiamo indagando su come questi compiti possano essere ridotti a compiti conosciuti per l'equazione Sturm - Liuville o l'equazione della corda. esamina ulteriormente un metodo di analisi spettrale che riduce le attività di ritorno in questione alle forme più semplici.

Direkte und inverse Probleme für hyperbolische, elliptische und gemischte Gleichungen Da sich die Technologie in einem beispiellosen Tempo weiterentwickelt, wird es immer wichtiger, den Prozess der technologischen Entwicklung zu untersuchen und zu verstehen. Dies gilt insbesondere für das Gebiet der Mathematik und ihre Anwendungen in Bereichen wie Geophysik, Optik, Tomographie, Fernerkundung und Radar. Ein Bereich, in dem es in den letzten Jahren zu erheblichem Wachstum und Innovation gekommen ist, ist die Untersuchung umgekehrter und direkter Probleme für partielle Differentialgleichungen. In dieser Monographie konzentrieren wir uns auf die umgekehrten Aufgaben der Bestimmung der Parameter des Mediums durch Formgebung der einfallenden und reflektierten Wellen oder Schwingungen bestimmter Punkte innerhalb des Mediums. Wir untersuchen, wie diese Probleme auf bekannte inverse Probleme für die Sturm-Liouville-Gleichung oder die Stringgleichung reduziert werden können. Darüber hinaus wird die Methode der Spektralanalyse untersucht, bei der die fraglichen inversen Probleme auf ihre einfachsten Formen reduziert werden.

Problemy naprzód i wstecz dla równań hiperbolicznych, eliptycznych i mieszanych Ponieważ technologia nadal rozwija się w bezprecedensowym tempie, coraz ważniejsze staje się badanie i zrozumienie procesu rozwoju technologicznego. Dotyczy to zwłaszcza dziedziny matematyki i jej zastosowań w takich dziedzinach jak geofizyka, optyka, tomografia, teledetekcja i radar. Jednym z obszarów, w którym odnotowano znaczny wzrost i innowacje w ostatnich latach, jest badanie odwrotnych i bezpośrednich problemów dla częściowych równań różniczkowych. W tej monografii skupiamy się na odwrotnych problemach określania parametrów średnich poprzez kształtowanie incydentu i odbijanych fal lub drgań pewnych punktów wewnątrz medium. Badamy, jak te problemy można zmniejszyć do znanych problemów odwrotnych równania Sturma-Liouville'a lub równania strun. Dodatkowo badana jest metoda analizy spektralnej, która polega na zmniejszeniu rozpatrywanych problemów odwrotnych do ich najprostszych form.

בעיות קדימה ואחורה עבור השוואות היפרבוליות, אליפטיות, ומעורבות-סוג כאשר הטכנולוגיה ממשיכה להתקדם בקצב חסר תקדים, זה הופך להיות יותר ויותר חשוב לחקור ולהבין את תהליך ההתפתחות הטכנולוגית. הדבר נכון במיוחד בכל הנוגע לתחום המתמטיקה וליישומיה בתחומים כגון גאופיזיקה, אופטיקה, טומוגרפיה, חישה מרחוק ורדאר. תחום אחד שראה צמיחה וחדשנות משמעותיים בשנים האחרונות הוא חקר בעיות הפוכות וישירות למשוואות דיפרנציאליות חלקיות. במונוגרפיה זו, אנו מתמקדים בבעיות ההפוכות של קביעת פרמטרים בינוניים על ידי עיצוב תקרית ושיקוף גלים או תנודות של נקודות מסוימות בתוך התווך. אנו חוקרים כיצד ניתן לצמצם בעיות אלה לבעיות הפוכות ידועות עבור משוואת שטורם-ליוביל או משוואת המיתרים. בנוסף, נחקרת השיטה של אנליזה ספקטרלית, הכרוכה בהפחתת הבעיות ההופכיות הנחשבות לצורתן הפשוטות ביותר.''

Hiperbolik, Eliptik ve Karışık Tip Denklemler için İleri ve Geri Problemler Teknoloji benzeri görülmemiş bir hızda ilerlemeye devam ettikçe, teknolojik gelişim sürecini incelemek ve anlamak giderek daha önemli hale gelmektedir. Bu özellikle matematik alanı ve jeofizik, optik, tomografi, uzaktan algılama ve radar gibi alanlardaki uygulamaları söz konusu olduğunda geçerlidir. Son yıllarda önemli bir büyüme ve yenilik gören bir alan, kısmi diferansiyel denklemler için ters ve doğrudan problemlerin incelenmesidir. Bu monografide, ortamın içindeki belirli noktaların olay ve yansıyan dalgalarını veya titreşimlerini şekillendirerek ortam parametrelerini belirlemenin ters problemlerine odaklanıyoruz. Bu problemlerin Sturm-Liouville denklemi veya sicim denklemi için bilinen ters problemlere nasıl indirgenebileceğini araştırıyoruz. Ek olarak, düşünülen ters problemlerin en basit formlarına indirgenmesini içeren spektral analiz yöntemi incelenmiştir.

المشاكل الأمامية والخلفية للمعادلات الزائدية والإهليلجية والمختلطة مع استمرار التكنولوجيا في التقدم بوتيرة غير مسبوقة، أصبح من المهم بشكل متزايد دراسة وفهم عملية التطور التكنولوجي. هذا صحيح بشكل خاص عندما يتعلق الأمر بمجال الرياضيات وتطبيقاتها في مجالات مثل الجيوفيزياء والبصريات والتصوير المقطعي والاستشعار عن بعد والرادار. أحد المجالات التي شهدت نموًا وابتكارًا كبيرين في السنوات الأخيرة هو دراسة المشاكل العكسية والمباشرة للمعادلات التفاضلية الجزئية. في هذه الدراسة، نركز على المشكلات العكسية لتحديد المعلمات المتوسطة عن طريق تشكيل الحوادث وعكس الموجات أو اهتزازات نقاط معينة داخل الوسط. نستكشف كيف يمكن اختزال هذه المشاكل إلى مشاكل معكوسة معروفة لمعادلة Sturm-Liouville أو معادلة السلسلة. بالإضافة إلى ذلك، تتم دراسة طريقة التحليل الطيفي، والتي تتضمن تقليل المشكلات العكسية المدروسة إلى أبسط أشكالها.

하이퍼 볼릭, 타원 및 혼합 유형 방정식에 대한 전진 및 후방 문제는 기술이 전례없는 속도로 계속 발전함에 따라 기술 개발 과정을 연구하고 이해하는 것이 점점 중요 해지고 있습니다. 이것은 지구 물리학, 광학, 단층 촬영, 원격 감지 및 레이더와 같은 분야에서 수학 분야와 응용 분야에서 특히 그렇습니다. 최근 몇 년 동안 상당한 성장과 혁신을 보인 영역 중 하나는 부분 미분 방정식에 대한 역 및 직접적인 문제에 대한 연구입니다. 이 논문에서, 우리는 매체 내부의 특정 지점의 입사 및 반사 파동 또는 진동을 형성함으로써 중간 파라미터를 결정하는 역의 문제에 중점을 둡니다. Sturm-Liouville 방정식 또는 문자열 방정식에 대해 이러한 문제를 알려진 역 문제로 줄일 수있는 방법을 살펴 봅니다. 또한, 스펙트럼 분석 방법을 연구하는데, 여기에는 고려 된 역 문제를 가장 간단한 형태로 줄이는 것이 포함됩니다.

双曲線方程式、楕円方程式、混合方程式の前進と後退技術が前例のないペースで進歩し続ける中で、技術開発の過程を研究し理解することがますます重要になってきています。これは、地球物理学、光学、トモグラフィー、リモートセンシング、レーダーなどの分野で数学とその応用の分野では特に当てはまります。近重要な成長と革新を遂げている分野の1つは、偏微分方程式の逆問題と直接問題の研究である。このモノグラフでは、インシデントと反射波、または媒体内部のある点の振動を形成することによって媒体パラメータを決定するという逆問題に焦点を当てています。我々は、これらの問題がどのようにしてスターム-リウヴィル方程式または文字列方程式の既知の逆問題に還元されるかを探る。さらに、検討されている逆問題を最も単純な形に減らすことを含むスペクトル解析の方法が研究されている。

雙曲、橢圓和混合型方程的直接和反向問題隨著技術繼續以前所未有的速度發展，研究和理解技術發展的過程變得越來越重要。當涉及數學領域及其在地球物理學，光學，斷層掃描，遙感和雷達等領域中的應用時，情況尤其如此。近來出現了顯著增長和創新的領域之一是研究偏導數方程的反向和直接問題。在本專著中，我們專註於通過給介質內某些點的入射波和反射波或振蕩形狀來確定介質參數的反向任務。我們研究了如何將這些問題簡化為Sturm-Liouville方程或弦方程的已知反問題。進一步研究了光譜分析方法，該方法涉及將所考慮的反向任務簡化為最簡單的形式。