The text is written in such a way so as to provide a gentle introduction to each area while maintaining mathematical rigor and clarity. The book "Momentsos Hierarchy: The Lectures In Probability, Statistics, Computational Geometry, Control" presents a powerful methodology for solving complex problems in various fields of science and engineering. The MomentSOS hierarchy is a general purpose framework that can be applied to a wide range of issues, from optimization and probability to statistics, signal processing, computational geometry, control theory, and analysis of nonlinear partial differential equations (PDEs). This approach offers a fresh perspective on problem-solving, allowing readers to gain a deeper understanding of the underlying principles and techniques involved. The book begins by introducing the concept of the Generalized Moment Problem (GMP), which is the foundation of the MomentSOS hierarchy. This problem involves finding the optimal values of variables to minimize or maximize a certain objective function subject to constraints. The authors explain how the MomentSOS hierarchy was initially designed to solve polynomial optimization problems but has since been extended to handle more complex instances of GMPs, including those involving non-polynomial functions and sets. Each chapter focuses on a specific application of the MomentSOS hierarchy, providing an in-depth exploration of the methodology and its applications. The text is written at an appropriate level of detail to cater to both beginners and advanced readers, ensuring that all readers can benefit from the material. The authors present the concepts in a clear and concise manner, making it easier for readers to understand and apply the techniques.

Текст написан таким образом, чтобы обеспечить мягкое введение в каждую область при сохранении математической строгости и ясности. В книге «Momentsos Hierarchy: The ctures In Probability, Statistics, Computational Geometry, Control» представлена мощная методология решения сложных задач в различных областях науки и инженерии. Иерархия MomentSOS - это структура общего назначения, которая может применяться к широкому кругу вопросов, от оптимизации и вероятности до статистики, обработки сигналов, вычислительной геометрии, теории управления и анализа нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (PDE). Этот подход предлагает свежий взгляд на решение проблем, позволяя читателям получить более глубокое понимание основных принципов и методов, участвующих. Книга начинается с введения понятия обобщённой проблемы момента (GMP), которая является фундаментом иерархии MomentSOS. Эта задача включает в себя нахождение оптимальных значений переменных для минимизации или максимизации некоторой целевой функции, подверженной ограничениям. Авторы объясняют, как иерархия MomentSOS была первоначально разработана для решения задач полиномиальной оптимизации, но с тех пор была расширена для обработки более сложных экземпляров GMP, включая те, которые включают неполиномиальные функции и наборы. Каждая глава посвящена конкретному применению иерархии MomentSOS, обеспечивая глубокое изучение методологии и ее приложений. Текст написан с соответствующим уровнем детализации, чтобы удовлетворить как начинающих, так и продвинутых читателей, гарантируя, что все читатели могут извлечь выгоду из материала. Авторы представляют концепции в четкой и сжатой форме, облегчая читателям понимание и применение методов.

texte est écrit de manière à fournir une introduction douce à chaque domaine tout en conservant la rigueur mathématique et la clarté. livre Momentsos Hierarchy : The ctures In Probability, Statistics, Computational Geometry, Control présente une méthodologie puissante pour résoudre des problèmes complexes dans différents domaines de la science et de l'ingénierie. La hiérarchie MomentSOS est une structure générale qui peut être appliquée à un large éventail de questions, de l'optimisation et de la probabilité aux statistiques, au traitement du signal, à la géométrie de calcul, à la théorie du contrôle et à l'analyse des équations différentielles non linéaires en dérivées partielles (PDE). Cette approche offre une nouvelle vision de la résolution de problèmes, permettant aux lecteurs d'acquérir une meilleure compréhension des principes et des méthodes de base impliqués. livre commence par l'introduction de la notion de problème généralisé du moment (GMP), qui est la base de la hiérarchie de MomentSOS. Cette tâche consiste à trouver les valeurs optimales des variables pour minimiser ou maximiser certaines fonctions cibles soumises à des contraintes. s auteurs expliquent comment la hiérarchie MomentSOS a été initialement développée pour résoudre les problèmes d'optimisation polynomiale, mais a depuis été étendue pour traiter des instances GMP plus complexes, y compris celles qui incluent des fonctions et des ensembles non polynomiaux. Chaque chapitre est consacré à l'application spécifique de la hiérarchie MomentSOS, permettant une étude approfondie de la méthodologie et de ses applications. texte est écrit avec le niveau de détail approprié pour satisfaire les lecteurs débutants et avancés, en veillant à ce que tous les lecteurs puissent bénéficier du matériel. s auteurs présentent les concepts sous une forme claire et concise, ce qui facilite la compréhension et l'application des méthodes par les lecteurs.

texto está escrito para proporcionar una introducción suave a cada área, manteniendo el rigor matemático y la claridad. libro «Momentsos Hierarchy: The ctures In Probability, Statistics, Computacional Geometry, Control» presenta una poderosa metodología para resolver problemas complejos en diferentes campos de la ciencia y la ingeniería. La jerarquía MomentSOS es una estructura de propósito general que puede aplicarse a una amplia gama de preguntas, desde la optimización y probabilidad hasta las estadísticas, el procesamiento de señales, la geometría computacional, la teoría de control y el análisis de ecuaciones diferenciales no lineales en derivadas parciales (PDE). Este enfoque ofrece una visión fresca de la solución de problemas, lo que permite a los lectores obtener una comprensión más profunda de los principios y métodos básicos involucrados. libro comienza introduciendo el concepto de problema generalizado del momento (GMP), que es la base de la jerarquía de MomentSOS. Esta tarea implica encontrar los valores óptimos de las variables para minimizar o maximizar alguna función objetivo sujeta a limitaciones. autores explican cómo la jerarquía de MomentSOS fue desarrollada originalmente para resolver problemas de optimización polinómica, pero desde entonces se ha ampliado para manejar instancias GMP más complejas, incluyendo aquellas que incluyen funciones y conjuntos no dinómicos. Cada capítulo se centra en la aplicación específica de la jerarquía MomentSOS, proporcionando un estudio profundo de la metodología y sus aplicaciones. texto está escrito con el nivel de detalle adecuado para satisfacer tanto a los lectores principiantes como a los avanzados, asegurando que todos los lectores puedan beneficiarse del material. autores presentan los conceptos de forma clara y concisa, facilitando a los lectores la comprensión y aplicación de las técnicas.

O texto é escrito de modo a garantir uma introdução suave a cada área, mantendo o rigor matemático e a clareza. O livro «Momentsos Hierarchy: The ctures In Probility, Statics, Computational Geometry, Controle» apresenta uma poderosa metodologia para lidar com desafios complexos em várias áreas da ciência e engenharia. A hierarquia é uma estrutura de uso geral que pode ser aplicada a uma ampla gama de questões, desde otimização e probabilidade até estatísticas, processamento de sinais, geometria computacional, teoria de controle e análise de equações diferenciais não lineares em derivados privados (PDE). Esta abordagem oferece uma visão recente dos problemas, permitindo aos leitores uma compreensão mais profunda dos princípios e métodos básicos envolvidos. O livro começa com a introdução da noção de problema genérico do momento (GMP), que é a base da hierarquia do MomentSOS. Esta tarefa inclui encontrar valores de variáveis adequados para minimizar ou maximizar uma função de destino sujeita a restrições. Os autores explicam como a hierarquia do MomentSOS foi originalmente desenvolvida para lidar com as tarefas de otimização polinomial, mas desde então foi expandida para o processamento de instâncias mais complexas do GMP, incluindo as que incluem funções e conjuntos incompletos. Cada capítulo é dedicado à aplicação específica da hierarquia da MomentSOS, garantindo um profundo estudo da metodologia e de seus aplicativos. O texto está escrito com o nível de detalhamento adequado para satisfazer tanto os leitores iniciantes quanto os leitores avançados, garantindo que todos os leitores podem se beneficiar da matéria. Os autores apresentam conceitos de forma clara e apertada, facilitando a compreensão e a aplicação dos métodos pelos leitores.

Il testo è scritto in modo da fornire un'introduzione morbida in ogni area mantenendo il rigore matematico e la chiarezza. Il libro «Momentsos Hierarchy: The Listures In Probabilità, Statistics, Computational Geometry, Control» fornisce una potente metodologia per affrontare sfide complesse in diversi ambiti scientifici e ingegneristici. La gerarchia dell'MomentSOS è una struttura generica che può essere applicata a una vasta gamma di questioni, dall'ottimizzazione e probabilità alle statistiche, all'elaborazione dei segnali, alla geometria computazionale, alla teoria della gestione e all'analisi delle equazioni differenziali non lineari in derivati privati (PDE). Questo approccio offre una visione più recente della soluzione dei problemi, permettendo ai lettori di acquisire una migliore comprensione dei principi fondamentali e dei metodi coinvolti. Il libro inizia con l'introduzione della nozione di problema generalizzato del momento (GMP), che è la base della gerarchia del MomentSOS. Questa operazione include l'individuazione dei valori ottimali delle variabili per minimizzare o massimizzare alcune funzioni di destinazione soggette a vincoli. Gli autori spiegano come la gerarchia del MomentSOS sia stata originariamente progettata per affrontare le sfide di ottimizzazione polinomiale, ma da allora è stata ampliata per la lavorazione di istanze più complesse di GMP, incluse quelle che includono funzioni e insiemi incompleti. Ogni capitolo è dedicato all'applicazione specifica della gerarchia del MomentSOS, fornendo uno studio approfondito della metodologia e delle sue applicazioni. Il testo è scritto con un adeguato livello di dettaglio per soddisfare sia i lettori principianti che avanzati, garantendo che tutti i lettori possono beneficiare del brano. Gli autori presentano i concetti in modo chiaro e compresso, facilitando la comprensione e l'applicazione dei metodi da parte dei lettori.

Der Text ist so geschrieben, dass er eine sanfte Einführung in jeden Bereich bietet und gleichzeitig die mathematische Strenge und Klarheit bewahrt. Das Buch „Momentsos Hierarchy: The ctures In Probability, Statistics, Computational Geometry, Control“ präsentiert eine leistungsfähige Methodik zur Lösung komplexer Probleme in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik. Die MomentSOS-Hierarchie ist eine Allzweck-Struktur, die auf eine Vielzahl von Themen angewendet werden kann, von Optimierung und Wahrscheinlichkeit bis hin zu Statistik, gnalverarbeitung, rechnerischer Geometrie, Steuerungstheorie und Analyse nichtlinearer partieller Differentialgleichungen (PDE). Dieser Ansatz bietet einen frischen Blick auf die Problemlösung und ermöglicht es den sern, ein tieferes Verständnis der zugrunde liegenden Prinzipien und Methoden zu erlangen. Das Buch beginnt mit einer Einführung in das Konzept des generalisierten Problems des Moments (GMP), das die Grundlage der MomentSOS-Hierarchie bildet. Diese Aufgabe besteht darin, die optimalen Werte der Variablen zu finden, um eine bestimmte Zielfunktion, die Einschränkungen unterliegt, zu minimieren oder zu maximieren. Die Autoren erklären, wie die MomentSOS-Hierarchie ursprünglich entwickelt wurde, um polynomiale Optimierungsprobleme zu lösen, aber seitdem erweitert wurde, um komplexere GMP-Instanzen zu behandeln, einschließlich solcher, die nicht-synomische Funktionen und Sets enthalten. Jedes Kapitel befasst sich mit der spezifischen Anwendung der MomentSOS-Hierarchie und bietet eine eingehende Untersuchung der Methodik und ihrer Anwendungen. Der Text ist mit einem angemessenen Detaillierungsgrad geschrieben, um sowohl Anfänger als auch fortgeschrittene ser zufrieden zu stellen und sicherzustellen, dass alle ser von dem Material profitieren können. Die Autoren präsentieren die Konzepte klar und prägnant und erleichtern den sern das Verständnis und die Anwendung der Methoden.

Tekst jest napisany, aby zapewnić delikatne wprowadzenie do każdego obszaru, przy zachowaniu dyscypliny matematycznej i jasności. Hierarchia Momentsos: Wykłady z prawdopodobieństwa, statystyki, geometrii obliczeniowej, kontroli przedstawia potężną metodologię rozwiązywania złożonych problemów w różnych dziedzinach nauki i inżynierii. Hierarchia HRS to ramy ogólnego przeznaczenia, które mogą być stosowane do szerokiego zakresu zagadnień, od optymalizacji i prawdopodobieństwa do statystyk, przetwarzania sygnałów, geometrii obliczeniowej, teorii kontroli i analizy nieliniowych równań różniczkowych częściowych (PDE). Podejście to oferuje nową perspektywę rozwiązywania problemów, umożliwiając czytelnikom głębsze zrozumienie podstawowych zasad i metod. Książka rozpoczyna się od wprowadzenia koncepcji uogólnionego problemu momentalnego (GMP), który jest fundamentem hierarchii Systemu SOS. Zadanie to polega na znalezieniu optymalnych wartości zmiennych w celu zminimalizowania lub zmaksymalizowania niektórych funkcji kosztowych podlegających ograniczeniom. Autorzy wyjaśniają, w jaki sposób pierwotnie opracowano hierarchię ΔSOS w celu rozwiązania problemów z optymalizacją wielomianu, ale od tego czasu rozszerzono ją o obsługę bardziej złożonych instancji GMP, w tym takich, które obejmują funkcje i zestawy niebędące wielomianami. Każdy rozdział koncentruje się na konkretnym zastosowaniu hierarchii Systemu SOS, zapewniając dogłębne zrozumienie metodologii i jej zastosowań. Tekst jest napisany z odpowiednim poziomem szczegółowości, aby zadowolić zarówno początkujących, jak i zaawansowanych czytelników, zapewniając wszystkim czytelnikom możliwość korzystania z materiału. Autorzy prezentują koncepcje w jasnej i zwięzłej formie, ułatwiając czytelnikom zrozumienie i stosowanie metod.

הטקסט נכתב כדי לספק מבוא עדין לכל תחום תוך שמירה על קשיחות מתמטית ובהירות. ההרצאות בהסתברות, סטטיסטיקה, גיאומטריה חישובית מציגות מתודולוגיה רבת עוצמה לפתרון בעיות מורכבות בתחומים שונים של מדע והנדסה. היררכיית מומנט (באנגלית: MomentSOS hyerarchy) היא מסגרת בעלת תכלית כללית הניתנת ליישום במגוון רחב של נושאים החל מאופטימיזציה והסתברות וכלה בסטטיסטיקה, עיבוד אותות, גאומטריה חישובית, תאוריית בקרה וניתוח של משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא לינאריות. גישה זו מציעה נקודת מבט חדשה על פתרון בעיות, ומאפשרת לקוראים להבין לעומק את העקרונות והשיטות הבסיסיים הכרוכים בכך. הספר מתחיל בהקדמה של המושג בעיית מומנט מוכללת (GMP), המהווה את הבסיס להיררכיית MomentSOS. משימה זו כוללת מציאת ערכים אופטימליים של משתנים כדי למזער או למקסם פונקציית עלות כלשהי בכפוף לאילוצים. המחברים מסבירים כיצד היררכיית MomentSOS פותחה במקור כדי לפתור בעיות אופטימיזציה פולינומית, אך מאז הורחבה כדי לטפל במקרים מורכבים יותר של GMP, כולל אלה הכוללים פונקציות ומערכים לא פולינומיים. כל פרק מתמקד ביישום ספציפי של היררכיית MomentSOS, המספק הבנה מעמיקה של המתודולוגיה ויישומיה. הטקסט נכתב עם רמת פירוט מתאימה כדי לספק גם את הקוראים הטירונים וגם את הקוראים המתקדמים, ובכך להבטיח שכל הקוראים יוכלו להפיק תועלת מהחומר. המחברים מציגים את המושגים בצורה ברורה ותמציתית, דבר המקל על הקוראים להבין וליישם את השיטות.''

Metin, matematiksel titizlik ve netliği korurken her alana nazik bir giriş sağlamak için yazılmıştır. Momentsos Hiyerarşisi: Olasılık, İstatistik, Hesaplamalı Geometri, Kontrol Dersleri, bilim ve mühendisliğin çeşitli alanlarındaki karmaşık problemleri çözmek için güçlü bir metodoloji sunar. MomentSOS hiyerarşisi optimizasyon ve olasılıktan istatistik, sinyal işleme, hesaplama geometrisi, kontrol teorisi ve doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin (PDE'ler) analizine kadar çok çeşitli konulara uygulanabilen genel amaçlı bir çerçevedir. Bu yaklaşım, problem çözme konusunda yeni bir bakış açısı sunarak, okuyucuların altta yatan ilke ve yöntemleri daha iyi anlamalarını sağlar. Kitap, MomentSOS hiyerarşisinin temeli olan genelleştirilmiş moment problemi (GMP) kavramının tanıtılmasıyla başlar. Bu görev, kısıtlamalara tabi bazı maliyet fonksiyonlarını en aza indirmek veya en üst düzeye çıkarmak için değişkenlerin optimal değerlerini bulmayı içerir. Yazarlar, MomentSOS hiyerarşisinin başlangıçta polinom optimizasyon problemlerini çözmek için nasıl geliştirildiğini, ancak o zamandan beri polinom olmayan işlevleri ve kümeleri içerenler de dahil olmak üzere daha karmaşık GMP örneklerini işlemek üzere genişletildiğini açıklamaktadır. Her bölüm, MomentSOS hiyerarşisinin belirli bir uygulamasına odaklanır ve metodoloji ve uygulamaları hakkında derinlemesine bir anlayış sağlar. Metin, hem acemi hem de ileri düzey okuyucuları tatmin etmek için uygun bir ayrıntı seviyesi ile yazılmıştır ve tüm okuyucuların materyalden yararlanabilmesini sağlar. Yazarlar kavramları açık ve özlü bir biçimde sunarak okuyucuların yöntemleri anlamasını ve uygulamasını kolaylaştırır.

تمت كتابة النص لتقديم مقدمة لطيفة لكل منطقة مع الحفاظ على الصرامة والوضوح الرياضيين. Momentsos Hierarchy: The ctures in Probability, Statistics, Computational Geometry, Control تقدم منهجية قوية لحل المشاكل المعقدة في مختلف مجالات العلوم والهندسة. التسلسل الهرمي MomentSOS هو إطار عام الغرض يمكن تطبيقه على مجموعة واسعة من القضايا، من التحسين والاحتمال إلى الإحصاء، ومعالجة الإشارات، والهندسة الحسابية، ونظرية التحكم، وتحليل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية (PDEs). يقدم هذا النهج منظورًا جديدًا لحل المشكلات، مما يسمح للقراء باكتساب فهم أعمق للمبادئ والأساليب الأساسية المعنية. يبدأ الكتاب بإدخال مفهوم مشكلة اللحظة المعممة (GMP)، والتي هي أساس التسلسل الهرمي لـ MomentSOS. تتضمن هذه المهمة إيجاد القيم المثلى للمتغيرات لتقليل أو تعظيم بعض وظائف التكلفة الخاضعة للقيود. يشرح المؤلفون كيف تم تطوير التسلسل الهرمي MomentSOS في الأصل لحل مشاكل التحسين متعددة الحدود، ولكن تم توسيعه منذ ذلك الحين للتعامل مع الحالات الأكثر تعقيدًا من GMP، بما في ذلك تلك التي تشمل وظائف ومجموعات غير متعددة الحدود. ويركز كل فصل على تطبيق محدد لتسلسل MomentSOS الهرمي، مما يوفر فهماً متعمقاً للمنهجية وتطبيقاتها. تمت كتابة النص بمستوى مناسب من التفاصيل لإرضاء القراء المبتدئين والمتقدمين، مما يضمن استفادة جميع القراء من المواد. يقدم المؤلفون المفاهيم في شكل واضح وموجز، مما يسهل على القراء فهم الأساليب وتطبيقها.

텍스트는 수학적 엄격함과 선명도를 유지하면서 각 영역을 부드럽게 소개하기 위해 작성되었습니다. Momentsos 계층: 확률, 통계, 전산 기하학 강의, 제어는 다양한 과학 및 공학 분야의 복잡한 문제를 해결하기위한 강력한 방법론을 제시합니다. MomentSOS 계층 구조는 최적화 및 확률에서 통계, 신호 처리, 계산 기하학, 제어 이론 및 비선형 부분 미분 방정식 (PDE) 분석에 이르기까지 광범위한 문제에 적용 할 수있는 범용 프레임 워크입니다. 이 접근 방식은 문제 해결에 대한 새로운 관점을 제공하여 독자가 관련된 기본 원칙과 방법을 더 깊이 이해할 수 있도록합니다. 이 책은 MomentSOS 계층의 기초 인 일반화 된 모멘트 문제 (GMP) 개념의 도입으로 시작됩니다. 이 작업에는 제약 조건에 따라 일부 비용 함수를 최소화하거나 최대화하기 위해 최적의 변수 값을 찾는 것이 포함됩 저자는 MomentSOS 계층 구조가 원래 다항식 최적화 문제를 해결하기 위해 개발 된 방법을 설명하지만 이후 비 다항식 기능 및 세트를 포함하는보다 복잡한 GMP 인스턴스를 처리하도록 확장되었습니다. 각 장은 MomentSOS 계층의 특정 응용 프로그램에 중점을 두어 방법론과 응용 프로그램에 대한 심층적 인 이해를 제공합니다. 이 텍스트는 초보자와 고급 독자 모두를 만족시키기 위해 적절한 수준의 세부 사항으로 작성되어 모든 독자가 자료의 혜택을받을 수 있도록합니다. 저자는 개념을 명확하고 간결한 형태로 제시하여 독자가 방법을보다 쉽게 이해하고 적용 할 수 있도록합니다.

テキストは、数学的厳密さと明快さを維持しながら、各領域に穏やかな紹介を提供するために書かれています。Momentsos Hierarchy： The ctures in Probability、 Statistics、 Computational Geometry、 Controlは、科学と工学の様々な分野における複雑な問題を解決するための強力な方法論を提示します。MomentSOS階層は汎用フレームワークであり、最適化と確率から統計、信号処理、計算幾何学、制御理論、非線形の偏微分方程式（PDE）の解析まで、幅広い問題に適用できます。このアプローチは、問題解決に関する新鮮な視点を提供し、読者は関係する根本的な原則と方法についてより深く理解することができます。この本は、MomentSOS階層の基礎であるGMP （Generalized Moment Problem）の概念の導入から始まります。このタスクは、制約の対象となるいくつかのコスト関数を最小化または最大化するために、変数の最適な値を見つけることを含みます。MomentSOS階層が、もともと多項式最適化問題を解決するためにどのように開発されたのかを説明したが、それ以来、非多項式関数や集合を含む、より複雑なGMPインスタンスを扱うために拡張されてきた。各章では、MomentSOS階層の特定のアプリケーションに焦点を当てており、方法論とそのアプリケーションの詳細な理解を提供しています。テキストは初心者と上級者の両方を満足させるために適切なレベルの詳細で書かれており、すべての読者が資料から利益を得ることができるようにしています。著者は、概念を明確かつ簡潔な形で提示し、読者がその方法を理解して適用しやすくする。